考研數(shù)學(xué)證明題的解題技巧

NO.1 利用函數(shù)的單調(diào)性

利用單調(diào)性來(lái)證明不等式是高等數(shù)學(xué)中一種最常用的方法，其適應(yīng)范圍很廣。它的解題思路是將所要證明的不等式作某些必要或適當(dāng)?shù)淖冃沃?，選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)F(x)及區(qū)間[a，b]，再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)F(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)的單調(diào)性。如果當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)不能確定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，則利用高階導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后取函數(shù)F(x)在區(qū)間[a，b]端點(diǎn)處的函數(shù)值，則可以得證不等式。

NO.2 利用中值定理

微分中值定理在高等數(shù)學(xué)不等式的證明中的作用也是非常大的。當(dāng)不等式或其變形中有函數(shù)在兩點(diǎn)的函數(shù)值之差f(b)-f(a)時(shí)，一般可考慮用拉格朗日中值定理來(lái)證明。柯西定理是拉格朗日定理的一個(gè)推廣，當(dāng)不等式或其變形中有兩個(gè)函數(shù)在兩點(diǎn)的函數(shù)值之差的比值時(shí)，一般可考慮用柯西定理來(lái)證明。

NO.3 利用函數(shù)的最大最小值

通過(guò)函數(shù)的最大值!最小值來(lái)證明不等式是一種比較特殊的方法，它主要是利用連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的最大最小值定理。其思路是求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值M或者最小值m，則函數(shù)在區(qū)間中的任何值都滿(mǎn)足f(x)<=M 或者f(x)>=M

NO.4 利用函數(shù)的凹凸性

如果在所要證明的結(jié)論中包含形如的項(xiàng)，那么往往可以考慮尋找合適的函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的凹凸性來(lái)證明不等式。

NO.5 利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式

如果已知函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)存在，則往往可以考慮通過(guò)泰勒公式將函數(shù)展開(kāi)來(lái)進(jìn)行證明。

NO.6 利用定積分中值定理

定積分中值定理是在處理含有定積分的不等式證明中經(jīng)常要用到的理論，一般只要求被積函數(shù)具有連續(xù)性即可。其思路是通過(guò)中值定理消去不等式中的積分號(hào)，從而與其他項(xiàng)作大小的比較，得出證明。

NO.7 利用定積分的性質(zhì)

NO.8 利用柯西&施瓦茨不等式

關(guān)于柯西—施瓦茨不等式: 設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，則有

當(dāng)不等式中含有帶平方項(xiàng)的積分時(shí)，往往可通過(guò)柯西—施瓦茨不等式來(lái)進(jìn)行證明。

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